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筑波大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第089回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ（25点）

円 \\(x^2+y^2=169\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）

第2問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(13-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{507}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を13回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/13,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-169=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-13\sqrt2\le a\le13\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm13\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{676-2a^2},\quad\max L=26\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<13\)。\(x(13-x)=169/4-(x-13/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,169/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<13,\quad a\le\log_2 \frac{169}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{169}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{169}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{169}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(13-x)=\frac{507}{16}\) を解く。2つの解の和は \(13\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{13}{4},\ \frac{39}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(13\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{39}{4096}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{8191}{8192}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{78}{8191}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+12}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{13}-\frac1{n+13}=\frac{n}{13(n+13)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+13}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。