筑波大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第044回
この回のテストポイント
- 第1問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第2問：三次方程式の実数解の個数
- 第3問：集合の包含と人数の計算
- 第4問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円と直線の交点数・弦の長さ（25点）
円 \\(x^2+y^2=961\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）
第2問 三次方程式の実数解の個数（25点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2883x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）
第3問 集合の包含と人数の計算（25点）
155人のクラスで、集合Aの人数は93人、集合Bは62人、両方に属する人数は31人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=31,\ a_{n+1}=2a_n+31\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-961=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-31)(x+31)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-31\) で極大、\(x=31\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a=59582\) では \(f(x)-a=(x-62)(x+31)^2\)。\(a=-59582\) では \(f(x)-a=(x+62)(x-31)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+31=2(a_n+31)\) なので \(a_n+31=62\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=31(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。