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筑波大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第033回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(120\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(20-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 75\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を20回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　等比数列と奇数番目の項の和（25点）

初項20、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=120-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=120-2a,\quad 30<a<60} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=60(60-a)^2(2a-60)\)。微分すると \((S^2)'=360(60-a)(40-a)\)。存在範囲で \(a=40\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=40,\quad S_{\max}=400\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(60\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=60r\)。

\[ \boxed{r=\frac{20}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<20\)。\(x(20-x)=400/4-(x-20/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,400/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<20,\quad a\le\log_2 100} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 100:2\text{個};\quad a=\log_2 100:1\text{個};\quad a>\log_2 100:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(20-x)=75\) を解く。2つの解の和は \(20\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=5,\ 15} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(20\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{95}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1048575}{1048576}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{38}{209715}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=20\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=20(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{20}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。