筑波大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第023回
この回のテストポイント
- 第1問：等周条件と三角形の面積
- 第2問：二次方程式の解の符号
- 第3問：停止する試行と期待値の連立
- 第4問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(150\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
第2問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+625=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第3問 停止する試行と期待値の連立（25点）
表の確率が \(1/25\)、裏の確率が \(24/25\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）
第4問 重解を使う三次曲線の面積（25点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-1875x\) の \(x=25\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=150-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=75(75-a)^2(2a-75)\)。微分すると \((S^2)'=450(75-a)(50-a)\)。存在範囲で \(a=50\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(75\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=75r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-625)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(625\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(p=1/25,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
1回の表までの平均は \(25\) 回なので合計2回の表までの平均は \(50\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(25)=0\) なので \(l:y=-31250\)。差は \((x-25)^2(x+50)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
区間 \([-50,25]\) では差は非負。
。原始関数は
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。