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津田塾大学 B方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第084回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le3\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{3}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第2問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項3、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 9\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1 \]

の第1象限の点 \(P(6\cos t,3\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-3)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 18\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 18\) を解きなさい。（7点）

第5問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-3|+|x+3|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 9\) を解きなさい。（8点）

第6問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を3回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<3\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log3+1}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=3+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{4} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{6}+\frac{y\sin t}{3}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(6/\cos t\)、\(3/\sin t\)。面積は \(9/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=18,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(9\(1-x^2/36\)\)。\(-6\le x\le6\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{72\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-3)=18\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{3<x\le6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-3,3\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-3\\6&-3\le x\le3\\2x&x>3\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=6,\quad -3\le x\le3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 9\)、\(2x\le 9\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{9}{2}\le x\le \frac{9}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(3\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{3}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{7}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{3}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。