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津田塾大学 A方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第090回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-31|+|x+31|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 93\) を解きなさい。（7点）

第2問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^31=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{30}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{30}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{30}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第3問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(31,0)、半径がともに31の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第4問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le31\) で曲線 \(y=x(31-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(31,1),\ \mathbf b=(1,31) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　指数方程式・不等式と置換（16点）

\(F(x)=4^x-32\cdot2^x+31\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（4点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（4点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-31,31\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-31\\62&-31\le x\le31\\2x&x>31\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=62,\quad -31\le x\le31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 93\)、\(2x\le 93\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{93}{2}\le x\le \frac{93}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(31\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{30}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{31}+i\sin\frac{2\pi j}{31},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{62} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^31-1=(z-1)\prod_{j=1}^{30}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{30}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{31}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{31}{2},\frac{31}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{31}{2},-\frac{31}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{31\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{961}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{31}x(31-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{29791}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(31-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{31}x^2(31-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{28629151}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le961/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(31\pm\sqrt{961-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=31\pi\sqrt{961-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{923521}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=62,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{962}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{31}{481}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=962t^2-124t+962 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{460800}{481},\quad t=\frac{31}{481}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-32u+31=(u-1)(u-31)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_231} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_231} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-225,\quad x=\log_216} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。