J 受験ヒーロー

津田塾大学 A方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第068回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　データの変換と分散（17点）

5個のデータは \(27,28,29,30,31\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=841\\) 上の点 \(P(t,841/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=29、AC=58、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{29+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{29n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(29,1),\ \mathbf b=(1,29) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　対数の真数条件と単調性（16点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-29)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（4点）

（2）\(F(x)=\log_2 1682\) を解きなさい。（4点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1682\) を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(29\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=29,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=61,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=841/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-841/t=-841(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{841}=2,\quad(2t,0),(0,1682/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1682/t\)。その積が \(3364\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1682} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1682/t\ge116\)。等号は \(t=29\) のとき。

\[ \boxed{\min=116,\quad P=(29,29)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=841+3364-3364\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{29\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{841}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{29+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{29+j/n} \]

は \(g(x)=1/(29+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{29+x}\,dx=[\frac23(29+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(30\sqrt{30}-29\sqrt{29})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{29+x}\,dx=[\log(29+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{30}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=58,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{842}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{29}{421}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=842t^2-116t+842 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{352800}{421},\quad t=\frac{29}{421}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-29)=1682\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=58} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{29<x\le58} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。