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津田塾大学 A方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第023回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　データの変換と分散（17点）

5個のデータは \(1,2,3,4,5\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=9\\) 上の点 \(P(t,9/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(3,0)、半径がともに3の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第4問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{6}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{7}\) を求めなさい。（7点）

第5問　等差数列の一般項・和・境界（16点）

初項3、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）\(a_n\ge 9\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

第6問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(3)=0\)、\(P(-3)=54\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-6\) で割った余りを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(3\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=3,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=9,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=9/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-9/t=-9(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{9}=2,\quad(2t,0),(0,18/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(18/t\)。その積が \(36\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+18/t\ge12\)。等号は \(t=3\) のとき。

\[ \boxed{\min=12,\quad P=(3,3)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{3}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{3\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{9}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(3\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{5}{32}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(3\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{16}{35}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=3+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{4} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-18,\quad b=27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-3)\(x^2+3x-9\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=3,\frac{3}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{135} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。