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津田塾大学 A方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第021回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+9=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=3,B=3i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を3回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-3x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第5問　部分分数分解と有限和の評価（16点）

\(a_n=\frac1{(n+3)(n+4)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（4点）

（3）\(S_n\ge\frac1{8}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

第6問　指数方程式・不等式と置換（16点）

\(F(x)=4^x-4\cdot2^x+3\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（4点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（4点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-9)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-3\ \text{または}\ t\ge3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(9\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{3}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=3\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(3\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{3}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{7}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{3}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-3x}(1-3x)\)。指数因子は正なので \(x=1/3\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{3},\quad\max f=\frac1{3e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{3x+1}{9}e^{-3x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(3a+1)e^{-3a}}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-3a}\) と \(ae^{-3a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+3}-\frac1{n+4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{4(n+4)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{4} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_23} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_23} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-1,\quad x=\log_22} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。