東海大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第088回
この回のテストポイント
- 第1問：反復試行と条件付き確率
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：等差数列の一般項・和・境界
- 第4問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第5問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第6問：楕円の接線と切片・回転体
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を25回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（17点）
実数全体で \(f(x)=x^2-50x+600\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）
第3問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項25、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 75\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ（17点）
円 \\(x^2+y^2=625\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）
第5問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-25x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
第6問 楕円の接線と切片・回転体（16点）
楕円
の第1象限の点 \(P(50\cos t,25\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(25\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-25)^2-25\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\((x-25)^2=25\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-625=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-25x}(1-25x)\)。指数因子は正なので \(x=1/25\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{25x+1}{625}e^{-25x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-25a}\) と \(ae^{-25a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(50/\cos t\)、\(25/\sin t\)。面積は \(625/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(625\(1-x^2/2500\)\)。\(-50\le x\le50\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。