J 受験ヒーロー

東海大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第054回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉42個、青玉21個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第2問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-21|+|x+21|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 63\) を解きなさい。（7点）

第3問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(21,1),\ \mathbf b=(1,21) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=441\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第5問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-21x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{1764}+\frac{y^2}{441}=1 \]

の第1象限の点 \(P(42\cos t,21\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{861}{1891}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-21,21\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-21\\42&-21\le x\le21\\2x&x>21\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=42,\quad -21\le x\le21} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 63\)、\(2x\le 63\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{63}{2}\le x\le \frac{63}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=42,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{442}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{21}{221}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=442t^2-84t+442 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{96800}{221},\quad t=\frac{21}{221}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-441=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-21\sqrt2\le a\le21\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm21\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{1764-2a^2},\quad\max L=42\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-21x}(1-21x)\)。指数因子は正なので \(x=1/21\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{21},\quad\max f=\frac1{21e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{21x+1}{441}e^{-21x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(21a+1)e^{-21a}}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-21a}\) と \(ae^{-21a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{42}+\frac{y\sin t}{21}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(42/\cos t\)、\(21/\sin t\)。面積は \(441/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=882,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(441\(1-x^2/1764\)\)。\(-42\le x\le42\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{24696\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。