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東海大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第010回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(27,0)、半径がともに27の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第2問　直角三角形の三角比と内接円（17点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=27、AC=54とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+27)(n+28)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{56}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-81x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=27\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{81} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第5問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-27x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{2916}+\frac{y^2}{729}=1 \]

の第1象限の点 \(P(54\cos t,27\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{27}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{27}{2},\frac{27}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{27}{2},-\frac{27}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{27\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{729}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=27\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

面積は \(729\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{54}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{27}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+27}-\frac1{n+28}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{28(n+28)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{28} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-54)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=54で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-78732} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-2187\)、接点のy座標は \(-39366\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-2187x+19683} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{14348907}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-27x}(1-27x)\)。指数因子は正なので \(x=1/27\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{27},\quad\max f=\frac1{27e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{27x+1}{729}e^{-27x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(27a+1)e^{-27a}}{729}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-27a}\) と \(ae^{-27a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{729}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{54}+\frac{y\sin t}{27}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(54/\cos t\)、\(27/\sin t\)。面積は \(729/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1458,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(729\(1-x^2/2916\)\)。\(-54\le x\le54\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{52488\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。