東海大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第099回
この回のテストポイント
- 第1問：反復試行と条件付き確率
- 第2問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第3問：二次方程式の解の符号
- 第4問：内積・角度とベクトルの射影
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を12回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第2問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(12)=0\)、\(P(-12)=3456\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-24\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第3問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+144=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第4問 内積・角度とベクトルの射影（25点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(12\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-12)\(x^2+12x-144\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-144)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(144\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。