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東北大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第087回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(30\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+5\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=5\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le5\) とする。\(0\le x\le5\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(5\) 個、青玉 \(10\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=30-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=30-2a,\quad \frac{15}{2}<a<15} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=15(15-a)^2(2a-15)\)。微分すると \((S^2)'=90(15-a)(10-a)\)。存在範囲で \(a=10\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=10,\quad S_{\max}=25\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(15\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=15r\)。

\[ \boxed{r=\frac{5}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=5+t-10t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=5+\frac1{40}-10(t-\frac1{20})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=5\)、\(f(1)=-4\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{201}{40}\ (\sin\theta=\frac1{20}),\quad\min f=-4\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-10t^2=0\) の解は0と \(1/10\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le5\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{5}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{25}{2}a+\frac{125}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{25}{2}\)。定義域内で \(a=5/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{5}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{125}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((5-1)/(15-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{2}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{10(10-1)}{15(15-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(5-1)<25-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。