東北大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第077回
この回のテストポイント
- 第1問：等周条件と三角形の面積
- 第2問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：停止する試行と期待値の連立
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(102\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ（25点）
\(0\le x\le 34\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+289\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=17,\ a_{n+1}=2a_n+17\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第4問 停止する試行と期待値の連立（25点）
表の確率が \(1/17\)、裏の確率が \(16/17\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=102-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=51(51-a)^2(2a-51)\)。微分すると \((S^2)'=306(51-a)(34-a)\)。存在範囲で \(a=34\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(51\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=51r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+289-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-17\le t\le 17\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
判別式より \(t>17\) または \(t<-17\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>17\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(34)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1445-68t\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+17=2(a_n+17)\) なので \(a_n+17=34\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=17(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(p=1/17,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
1回の表までの平均は \(17\) 回なので合計2回の表までの平均は \(34\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。