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東邦大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第075回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　データの変換と分散（17点）

5個のデータは \(21,22,23,24,25\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=529\\) 上の点 \(P(t,529/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉46個、青玉23個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第4問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-24\cdot2^x+23\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(23,1),\ \mathbf b=(1,23) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　対数の評価と部分積分（16点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le23\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）

（3）

\[ \int_1^{23}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(23\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=23,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=49,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=529/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-529/t=-529(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{529}=2,\quad(2t,0),(0,1058/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1058/t\)。その積が \(2116\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1058} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1058/t\ge92\)。等号は \(t=23\) のとき。

\[ \boxed{\min=92,\quad P=(23,23)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{1035}{2278}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-24u+23=(u-1)(u-23)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_223} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_223} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-121,\quad x=\log_212} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=46,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{530}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{23}{265}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=530t^2-92t+530 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{139392}{265},\quad t=\frac{23}{265}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<23\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log23+1}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。