東邦大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第054回
この回のテストポイント
- 第1問：二次方程式の解の符号
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第4問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第5問：内積・角度とベクトルの射影
- 第6問：回転軸を変える体積計算
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+676=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^26=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{25}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{25}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{25}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=26、AC=52、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ（17点）
円 \\(x^2+y^2=676\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）
第5問 内積・角度とベクトルの射影（16点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）
第6問 回転軸を変える体積計算（16点）
\(0\le x\le26\) で曲線 \(y=x(26-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（4点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-676)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(676\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(26\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{25}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{25}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-676=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{26}x(26-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切り口は半径 \(x(26-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(0\le y\le676/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(26\pm\sqrt{676-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。