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東京都立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第064回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,12,0),C(0,0,18) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から12までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを6より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第3問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=36\\) 上の点 \(P(t,36/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 12\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+36\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第5問　逆数で線形化し差を足す（16点）

\[ a_1=1/6,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{12}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{13}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=36} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=36\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{216}{49},\frac{108}{49},\frac{72}{49}),\quad OH=\frac{36}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(36\)、Cからこの底面までの高さは \(18\) なので体積は \(216\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{126} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(6-\lfloor6/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=36/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-36/t=-36(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{36}=2,\quad(2t,0),(0,72/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(72/t\)。その積が \(144\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+72/t\ge24\)。等号は \(t=6\) のとき。

\[ \boxed{\min=24,\quad P=(6,6)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+36-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}36&t\le0\\36-t^2&0<t<12\\180-24t&t\ge12\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-6\le t\le 6\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>6\) または \(t<-6\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>6\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(12)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(180-24t\)。

\[ \boxed{6<t\le \frac{15}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{6}-\frac1{n+6}=\frac{n}{6(n+6)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+6}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(6\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{231}{2048}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(6\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{1024}{3003}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。