東京都立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第036回
この回のテストポイント
- 第1問：等周条件と三角形の面積
- 第2問：反射による経路の数え上げ
- 第3問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第4問：二次方程式の解の符号
- 第5問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第6問：指数関数の最大値と積分の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 等周条件と三角形の面積（17点）
周の長さが \(114\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）
第2問 反射による経路の数え上げ（17点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(38\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）
第3問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-19|=2|z+19|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第4問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+361=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第5問 三項間漸化式と互いに素の証明（16点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）
第6問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-19x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=114-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=57(57-a)^2(2a-57)\)。微分すると \((S^2)'=342(57-a)(38-a)\)。存在範囲で \(a=38\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(57\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=57r\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(19\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(20\) 回、左が \(18\) 回なので \(\binom{38}{18}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{38}{19}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/20\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-19)^2+y^2=4((x+19)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(95/3\)、半径は \(76/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-19w|=2|1+19w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-361)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(361\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(19\) なので \(a_{n+1}-a_n=19^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
一般項を代入して \(1/(19-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=19a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-19a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-19x}(1-19x)\)。指数因子は正なので \(x=1/19\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{19x+1}{361}e^{-19x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-19a}\) と \(ae^{-19a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。