東京都立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第023回
この回のテストポイント
- 第1問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第2問：停止する試行と期待値の連立
- 第3問：1の累乗根と積・距離の和
- 第4問：二次方程式の解の符号
- 第5問：重解を使う三次曲線の面積
- 第6問：区分求積と和の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 放物線の接線と囲まれた面積（17点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-900)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）
第2問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/30\)、裏の確率が \(29/30\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第3問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^30=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{29}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{29}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{29}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第4問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+900=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第5問 重解を使う三次曲線の面積（16点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-2700x\) の \(x=30\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（4点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（4点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
第6問 区分求積と和の極限（16点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=900\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm30,900)\)。底辺の長さは \(60\)、Pから底辺までの高さは \(1800\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-30)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{30}(x-30)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/30,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(30\) 回なので合計2回の表までの平均は \(60\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(30\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{29}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{29}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-900)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(900\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(30)=0\) なので \(l:y=-54000\)。差は \((x-30)^2(x+60)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
区間 \([-60,30]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-1350x^2+54000x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{30+x}\)、
は \(g(x)=1/(30+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。