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東京都立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第013回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-49)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第2問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉14個、青玉7個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第3問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=49\\) 上の点 \(P(t,49/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第4問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(7-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{147}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第5問　逆数で線形化し差を足す（16点）

\[ a_1=1/7,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

第6問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-7x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=49\)。

\[ \boxed{y=14x-49,\quad y=-14x-49} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm7,49)\)。底辺の長さは \(14\)、Pから底辺までの高さは \(98\)。

\[ \boxed{686} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-7)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{7}(x-7)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{686}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{91}{190}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=49/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-49/t=-49(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{49}=2,\quad(2t,0),(0,98/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(98/t\)。その積が \(196\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{98} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+98/t\ge28\)。等号は \(t=7\) のとき。

\[ \boxed{\min=28,\quad P=(7,7)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<7\)。\(x(7-x)=49/4-(x-7/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,49/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<7,\quad a\le\log_2 \frac{49}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{49}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{49}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{49}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(7-x)=\frac{147}{16}\) を解く。2つの解の和は \(7\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{7}{4},\ \frac{21}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{7}-\frac1{n+7}=\frac{n}{7(n+7)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+7}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-7x}(1-7x)\)。指数因子は正なので \(x=1/7\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{7},\quad\max f=\frac1{7e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{7x+1}{49}e^{-7x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(7a+1)e^{-7a}}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-7a}\) と \(ae^{-7a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。