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東京都立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第070回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 40\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+400\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=21,\ a_{n+2}=21a_{n+1}-20a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(20\) 個、青玉 \(40\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（25点）

円 \\(x^2+y^2=400\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+400-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}400&t\le0\\400-t^2&0<t<40\\2000-80t&t\ge40\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-20\le t\le 20\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le20} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>20\) または \(t<-20\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>20\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(40)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(2000-80t\)。

\[ \boxed{20<t\le 25} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=20(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(20\) なので \(a_{n+1}-a_n=20^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{20^n-1}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(20-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{20(20^n-1)-19n}{361}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=20a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-20a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((20-1)/(60-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{19}{177}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{40(40-1)}{60(60-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{19}{99}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(20-1)<100-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{19}{99}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-400=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-20\sqrt2\le a\le20\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm20\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{1600-2a^2},\quad\max L=40\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。