J 受験ヒーロー

東京都立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第006回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(30-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{675}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=31,\ a_{n+2}=31a_{n+1}-30a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(30\) 個、青玉 \(60\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（25点）

円 \\(x^2+y^2=900\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<30\)。\(x(30-x)=900/4-(x-30/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,900/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<30,\quad a\le\log_2 225} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 225:2\text{個};\quad a=\log_2 225:1\text{個};\quad a>\log_2 225:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(30-x)=\frac{675}{4}\) を解く。2つの解の和は \(30\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{15}{2},\ \frac{45}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=30(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(30\) なので \(a_{n+1}-a_n=30^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{30^n-1}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(30-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{30(30^n-1)-29n}{841}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=30a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-30a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((30-1)/(90-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{29}{267}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{60(60-1)}{90(90-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{29}{149}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(30-1)<150-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{29}{149}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-900=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-30\sqrt2\le a\le30\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm30\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{3600-2a^2},\quad\max L=60\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。