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東京都市大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第062回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-13)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 338\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 338\) を解きなさい。（7点）

第2問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(13,1),\ \mathbf b=(1,13) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-13|=2|z+13|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=13、AC=26、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-13|+|x+13|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 39\) を解きなさい。（8点）

第6問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-13x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-13)=338\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{13<x\le26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=26,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{170}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{13}{85}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=170t^2-52t+170 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{14112}{85},\quad t=\frac{13}{85}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-13)^2+y^2=4((x+13)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{65}{3})^2+y^2=\frac{2704}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(65/3\)、半径は \(52/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=39\ (z=-39),\quad\min|z|=\frac{13}{3}\ (z=-\frac{13}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-13w|=2|1+13w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{39})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{1521}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=169+676-676\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{13\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{169}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{13} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-13,13\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-13\\26&-13\le x\le13\\2x&x>13\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=26,\quad -13\le x\le13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 39\)、\(2x\le 39\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{39}{2}\le x\le \frac{39}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-13x}(1-13x)\)。指数因子は正なので \(x=1/13\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{13},\quad\max f=\frac1{13e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{13x+1}{169}e^{-13x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(13a+1)e^{-13a}}{169}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-13a}\) と \(ae^{-13a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{169}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。