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東京都市大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第034回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-10\cdot2^x+9\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第2問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+9)(n+10)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{20}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=81\\) 上の点 \(P(t,81/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第4問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を9回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第5問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-18x+72\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le9\) で曲線 \(y=x(9-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-10u+9=(u-1)(u-9)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-16,\quad x=\log_25} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+9}-\frac1{n+10}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{10(n+10)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{10} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=81/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-81/t=-81(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{81}=2,\quad(2t,0),(0,162/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(162/t\)。その積が \(324\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{162} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+162/t\ge36\)。等号は \(t=9\) のとき。

\[ \boxed{\min=36,\quad P=(9,9)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(9\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{9}{128}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{511}{512}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{36}{511}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-9)^2-9\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-9,\quad x=9} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-9)^2=9\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=9\pm\sqrt{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{9-\sqrt{9}\le x\le 9+\sqrt{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{9}x(9-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{243}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(9-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{9}x^2(9-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{19683}{10}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le81/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(9\pm\sqrt{81-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=9\pi\sqrt{81-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{2187}{2}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。