東京都市大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第010回
この回のテストポイント
- 第1問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第2問：内分点・内積・三角形の面積
- 第3問：1の累乗根と積・距離の和
- 第4問：反復試行と条件付き確率
- 第5問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第6問：指数関数の最大値と積分の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円と直線の交点数・弦の長さ（17点）
円 \\(x^2+y^2=16\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）
第2問 内分点・内積・三角形の面積（17点）
A(0,0)、B(8,0)、C(0,8)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）
第3問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^4=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{3}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{3}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{3}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第4問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を4回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第5問 二次関数の頂点・解・不等式（16点）
実数全体で \(f(x)=x^2-8x+12\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）
第6問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-4x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-16=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(4\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{3}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{3}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(4\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-4)^2-4\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\((x-4)^2=4\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-4x}(1-4x)\)。指数因子は正なので \(x=1/4\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{4x+1}{16}e^{-4x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-4a}\) と \(ae^{-4a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。