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東京都市大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第003回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-57x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=19\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{57} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第2問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項19、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-19|=2|z+19|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を19回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第5問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-38x+342\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le19\) で曲線 \(y=x(19-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-38)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=38で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-27436} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-1083\)、接点のy座標は \(-13718\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-1083x+6859} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{3518667}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=19\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=19(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{19}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-19)^2+y^2=4((x+19)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{95}{3})^2+y^2=\frac{5776}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(95/3\)、半径は \(76/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=57\ (z=-57),\quad\min|z|=\frac{19}{3}\ (z=-\frac{19}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-19w|=2|1+19w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{57})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{3249}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(19\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{171}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{524287}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{171}{524287}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-19)^2-19\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-19,\quad x=19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-19)^2=19\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=19\pm\sqrt{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{19-\sqrt{19}\le x\le 19+\sqrt{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{19}x(19-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{6859}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(19-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{19}x^2(19-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{2476099}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le361/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(19\pm\sqrt{361-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=19\pi\sqrt{361-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{130321}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。