東京都市大学 数学IIまでの方式 数学記述模試 第027回
この回のテストポイント
- 第1問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第2問：二次方程式の解の符号
- 第3問：指数方程式・不等式と置換
- 第4問：等差数列の一般項・和・境界
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 非復元抽出の組合せと期待値（25点）
袋に赤玉60個、青玉30個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）
第2問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+900=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第3問 指数方程式・不等式と置換（25点）
\(F(x)=4^x-31\cdot2^x+30\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（7点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（7点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（11点）
第4問 等差数列の一般項・和・境界（25点）
初項30、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(a_n\ge 90\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-900)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(900\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-31u+30=(u-1)(u-30)\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。