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上智大学 TEAP利用型・数学IIIを含む 数学記述模試 第077回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(29-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{2523}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-29|=2|z+29|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第3問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le29\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{29}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(29\) 個、青玉 \(58\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第5問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項29、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

第6問　等周条件と三角形の面積（16点）

周の長さが \(174\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<29\)。\(x(29-x)=841/4-(x-29/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,841/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<29,\quad a\le\log_2 \frac{841}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{841}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{841}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{841}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(29-x)=\frac{2523}{16}\) を解く。2つの解の和は \(29\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{29}{4},\ \frac{87}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-29)^2+y^2=4((x+29)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{145}{3})^2+y^2=\frac{13456}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(145/3\)、半径は \(116/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=87\ (z=-87),\quad\min|z|=\frac{29}{3}\ (z=-\frac{29}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-29w|=2|1+29w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{87})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{7569}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<29\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log29+1}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((29-1)/(87-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{14}{129}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{58(58-1)}{87(87-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{7}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(29-1)<145-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{7}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=29\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=29(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{29}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=174-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=174-2a,\quad \frac{87}{2}<a<87} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=87(87-a)^2(2a-87)\)。微分すると \((S^2)'=522(87-a)(58-a)\)。存在範囲で \(a=58\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=58,\quad S_{\max}=841\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

半周長は \(87\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=87r\)。

\[ \boxed{r=\frac{29}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。