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上智大学 TEAP利用型・数学IIIを含む 数学記述模試 第030回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(5)=0\)、\(P(-5)=250\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-10\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=5,B=5i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{10}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{11}\) を求めなさい。（7点）

第4問　集合の包含と人数の計算（17点）

25人のクラスで、集合Aの人数は15人、集合Bは10人、両方に属する人数は5人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第5問　重解を使う三次曲線の面積（16点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-75x\) の \(x=5\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（4点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（4点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）

第6問　線分上の点と内積・最大最小（16点）

\(O(0,0),B(10,0),C(0,5)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（4点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（4点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-50,\quad b=125} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-5)\(x^2+5x-25\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=5,\frac{5}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{625} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{5}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=5\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{25}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{5}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{5}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(5\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{63}{512}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(5\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{256}{693}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{20} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{5} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{15} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(5)=0\) なので \(l:y=-250\)。差は \((x-5)^2(x+10)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-10,-250),\quad(5,-250)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

区間 \([-10,5]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-10}^{5}(x^3-75x+250)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-\frac{75}{2}x^2+250x\\)。

\[ \boxed{\frac{16875}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{5}(f(x)+250)\,dx=\frac{1875}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(10(1-t),5t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ OP^2=25(5t^2-8t+4)=525(t-4/5)^2+425/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-10,5)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(2,4),\quad\min OP=2\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

長方形の面積は

\[ 50t(1-t)=\frac{25}{2}-50(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{25}{2},\quad P=(5,\frac{5}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。