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上智大学 TEAP利用型・数学IIIを含む 数学記述模試 第027回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(5-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{75}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=25\\) 上の点 \(P(t,25/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-5x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第4問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉10個、青玉5個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第5問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項5、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

第6問　等周条件と三角形の面積（16点）

周の長さが \(30\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<5\)。\(x(5-x)=25/4-(x-5/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,25/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<5,\quad a\le\log_2 \frac{25}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{25}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{25}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{25}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(5-x)=\frac{75}{16}\) を解く。2つの解の和は \(5\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{5}{4},\ \frac{15}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=25/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-25/t=-25(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{25}=2,\quad(2t,0),(0,50/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(50/t\)。その積が \(100\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{50} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+50/t\ge20\)。等号は \(t=5\) のとき。

\[ \boxed{\min=20,\quad P=(5,5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-5x}(1-5x)\)。指数因子は正なので \(x=1/5\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{5},\quad\max f=\frac1{5e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{5x+1}{25}e^{-5x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(5a+1)e^{-5a}}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-5a}\) と \(ae^{-5a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{45}{91}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=5\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=5(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{5}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=30-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=30-2a,\quad \frac{15}{2}<a<15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=15(15-a)^2(2a-15)\)。微分すると \((S^2)'=90(15-a)(10-a)\)。存在範囲で \(a=10\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=10,\quad S_{\max}=25\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

半周長は \(15\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=15r\)。

\[ \boxed{r=\frac{5}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。