J 受験ヒーロー

上智大学 TEAP利用型・数学IIIを含む 数学記述模試 第008回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-31|+|x+31|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 93\) を解きなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=961\\) 上の点 \(P(t,961/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{62}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{63}\) を求めなさい。（7点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(31\) 個、青玉 \(62\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第5問　対数の真数条件と単調性（16点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-31)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（4点）

（2）\(F(x)=\log_2 1922\) を解きなさい。（4点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1922\) を解きなさい。（8点）

第6問　内分点・内積・三角形の面積（16点）

A(0,0)、B(62,0)、C(0,62)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-31,31\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-31\\62&-31\le x\le31\\2x&x>31\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=62,\quad -31\le x\le31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 93\)、\(2x\le 93\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{93}{2}\le x\le \frac{93}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=961/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-961/t=-961(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{961}=2,\quad(2t,0),(0,1922/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1922/t\)。その積が \(3844\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1922} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1922/t\ge124\)。等号は \(t=31\) のとき。

\[ \boxed{\min=124,\quad P=(31,31)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(31\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{14544636039226909}{288230376151711744}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(31\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{144115188075855872}{916312070471295267}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((31-1)/(93-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{5}{46}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{62(62-1)}{93(93-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{15}{77}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(31-1)<155-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{15}{77}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-31)=1922\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=62} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{31<x\le62} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(31,0),\quad Q=(\frac{124}{3},\frac{62}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{3844}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{961}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。