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上智大学 TEAP利用型・数学IIIを含む 数学記述模試 第001回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-38x+342\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=19,B=19i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{38}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{39}\) を求めなさい。（7点）

第4問　反射による経路の数え上げ（17点）

数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(38\) 回動かす。

（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）

（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）

（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=20,\ a_{n+2}=20a_{n+1}-19a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=361\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-19)^2-19\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-19,\quad x=19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-19)^2=19\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=19\pm\sqrt{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{19-\sqrt{19}\le x\le 19+\sqrt{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{19}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=19\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{361}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{19}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{19}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(19\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{4418157975}{68719476736}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(19\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{34359738368}{172308161025}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反射による経路の数え上げ

（1）

右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(19\) 回。右への移動の位置を選ぶ。

\[ \boxed{35345263800} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(20\) 回、左が \(18\) 回なので \(\binom{38}{18}\) 個。全体から差し引く。

\[ \boxed{1767263190} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{38}{19}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/20\)。

\[ \boxed{\frac{1}{20}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=19(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(19\) なので \(a_{n+1}-a_n=19^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{19^n-1}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(19-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{19(19^n-1)-18n}{324}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=19a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-19a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-361=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-19\sqrt2\le a\le19\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm19\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{1444-2a^2},\quad\max L=38\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。