上智大学 TEAP利用型・数学IIまで 数学記述模試 第097回
この回のテストポイント
- 第1問：内積・角度とベクトルの射影
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：絶対値を含む面積の最適化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 内積・角度とベクトルの射影（25点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）
第2問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を32回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(32)=0\)、\(P(-32)=65536\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-64\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 絶対値を含む面積の最適化（25点）
\(0\le a\le32\) とする。\(0\le x\le32\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(32\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-32)\(x^2+32x-1024\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le32\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(S'(a)=a^2-512\)。定義域内で \(a=32/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。