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上智大学 TEAP利用型・数学IIまで 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(62,0),C(0,31)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から62までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを31より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

第3問　二次方程式の解の符号（25点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+961=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=32,\ a_{n+2}=32a_{n+1}-31a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(62(1-t),31t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=961(5t^2-8t+4)=5961(t-4/5)^2+4961/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-62,31)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{62}{5},\frac{124}{5}),\quad\min OP=\frac{62}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は

\[ 1922t(1-t)=\frac{961}{2}-1922(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{961}{2},\quad P=(31,\frac{31}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(31-\lfloor31/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{8}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{16}{31},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-961)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-31\ \text{または}\ t\ge31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

解の積は \(961\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{961}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=31(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(31\) なので \(a_{n+1}-a_n=31^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{31^n-1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(31-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{31(31^n-1)-30n}{900}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=31a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-31a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。