昭和医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第042回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含と人数の計算
- 第2問：三次方程式の実数解の個数
- 第3問：複素数の回転と正三角形
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第5問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第6問：等差数列の一般項・和・境界
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 集合の包含と人数の計算（17点）
150人のクラスで、集合Aの人数は90人、集合Bは60人、両方に属する人数は30人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）
第2問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2700x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第3問 複素数の回転と正三角形（17点）
複素数平面で \(A=30,B=30i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=30、AC=60、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-30x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
第6問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項30、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 90\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-30)(x+30)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-30\) で極大、\(x=30\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=54000\) では \(f(x)-a=(x-60)(x+30)^2\)。\(a=-54000\) では \(f(x)-a=(x+60)(x-30)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|B-A|=30\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-30x}(1-30x)\)。指数因子は正なので \(x=1/30\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{30x+1}{900}e^{-30x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-30a}\) と \(ae^{-30a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。