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昭和医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第027回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　集合の包含と人数の計算（17点）

90人のクラスで、集合Aの人数は54人、集合Bは36人、両方に属する人数は18人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第2問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(18)=0\)、\(P(-18)=11664\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-36\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第3問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=324\\) 上の点 \(P(t,324/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(108\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le18\) で曲線 \(y=x(18-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

第6問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le18\) とする。\(0\le x\le18\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{54} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-648,\quad b=5832} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-18)\(x^2+18x-324\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=18,9(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{29160} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=324/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-324/t=-324(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{324}=2,\quad(2t,0),(0,648/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(648/t\)。その積が \(1296\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{648} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+648/t\ge72\)。等号は \(t=18\) のとき。

\[ \boxed{\min=72,\quad P=(18,18)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=108-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=108-2a,\quad 27<a<54} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=54(54-a)^2(2a-54)\)。微分すると \((S^2)'=324(54-a)(36-a)\)。存在範囲で \(a=36\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=36,\quad S_{\max}=324\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(54\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=54r\)。

\[ \boxed{r=6\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{18}x(18-x)\,dx\)。

\[ \boxed{972} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(18-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{18}x^2(18-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{314928}{5}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le324/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(18\pm\sqrt{324-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=18\pi\sqrt{324-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{17496\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le18\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{18}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-162a+1944} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-162\)。定義域内で \(a=18/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=9\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=972(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。