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昭和医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第017回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　集合の包含と人数の計算（17点）

115人のクラスで、集合Aの人数は69人、集合Bは46人、両方に属する人数は23人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第2問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(23)=0\)、\(P(-23)=24334\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-46\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第3問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^23=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{22}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{22}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{22}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(138\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{23+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{23n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le23\) とする。\(0\le x\le23\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{92} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{23} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{69} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1058,\quad b=12167} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-23)\(x^2+23x-529\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=23,\frac{23}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{60835} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(23\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{22}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{23}+i\sin\frac{2\pi j}{23},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{46} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^23-1=(z-1)\prod_{j=1}^{22}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{22}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=138-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=138-2a,\quad \frac{69}{2}<a<69} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=69(69-a)^2(2a-69)\)。微分すると \((S^2)'=414(69-a)(46-a)\)。存在範囲で \(a=46\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=46,\quad S_{\max}=529\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(69\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=69r\)。

\[ \boxed{r=\frac{23}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{23+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{23+j/n} \]

は \(g(x)=1/(23+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{23+x}\,dx=[\frac23(23+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(48\sqrt{6}-23\sqrt{23})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{23+x}\,dx=[\log(23+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{24}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le23\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{23}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{529}{2}a+\frac{12167}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{529}{2}\)。定義域内で \(a=23/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{23}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{12167}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。