J 受験ヒーロー

静岡大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第053回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+16=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第2問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-4x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第3問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(4)=0\)、\(P(-4)=128\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-8\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第4問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(4,0)、半径がともに4の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第5問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項4、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-4|=2|z+4|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-16)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-4\ \text{または}\ t\ge4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(16\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-4x}(1-4x)\)。指数因子は正なので \(x=1/4\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{4},\quad\max f=\frac1{4e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{4x+1}{16}e^{-4x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(4a+1)e^{-4a}}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-4a}\) と \(ae^{-4a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-32,\quad b=64} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-4)\(x^2+4x-16\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=4,2(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{320} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(2\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(2,2\sqrt{3}),\quad Q=(2,-2\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{4\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{4\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=4\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=4(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{4}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-4)^2+y^2=4((x+4)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{20}{3})^2+y^2=\frac{256}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(20/3\)、半径は \(16/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=12\ (z=-12),\quad\min|z|=\frac{4}{3}\ (z=-\frac{4}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-4w|=2|1+4w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{12})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。