信州大学 工学部・理系数学 数学記述模試 第082回
この回のテストポイント
- 第1問：直角三角形の三角比と内接円
- 第2問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第3問：内積・角度とベクトルの射影
- 第4問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第5問：複素数の回転と正三角形
- 第6問：剰余定理と三次式の因数分解
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 直角三角形の三角比と内接円（17点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=23、AC=46とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）
第2問 委員選出と余事象の数え上げ（17点）
男子23人、女子23人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）
第3問 内積・角度とベクトルの射影（17点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）
第4問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-23x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第5問 複素数の回転と正三角形（16点）
複素数平面で \(A=23,B=23i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）
第6問 剰余定理と三次式の因数分解（16点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(23)=0\)、\(P(-23)=24334\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（4点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）
（3）P(x)を \(x-46\) で割った余りを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
面積は \(529\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-23x}(1-23x)\)。指数因子は正なので \(x=1/23\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{23x+1}{529}e^{-23x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-23a}\) と \(ae^{-23a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|B-A|=23\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(P(x)=(x-23)\(x^2+23x-529\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。