J 受験ヒーロー

滋賀大学 教育・データサイエンス・数学III選択 数学記述模試 第094回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　内分点・内積・三角形の面積（17点）

A(0,0)、B(16,0)、C(0,16)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）

第2問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を8回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le8\) で曲線 \(y=x(8-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-9\cdot2^x+8\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第5問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-16x+56\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{256}+\frac{y^2}{64}=1 \]

の第1象限の点 \(P(16\cos t,8\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(8,0),\quad Q=(\frac{32}{3},\frac{16}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{256}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{64}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(8\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{7}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{255}{256}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{28}{255}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{8}x(8-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{256}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(8-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{8}x^2(8-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{16384}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le64/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(8\pm\sqrt{64-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=8\pi\sqrt{64-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{2048}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-9u+8=(u-1)(u-8)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_28} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_28} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-\frac{49}{4},\quad x=\log_2\frac{9}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-8)^2-8\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-8,\quad x=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-8)^2=8\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=8\pm\sqrt{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{8-\sqrt{8}\le x\le 8+\sqrt{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{16}+\frac{y\sin t}{8}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(16/\cos t\)、\(8/\sin t\)。面積は \(64/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=128,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(64\(1-x^2/256\)\)。\(-16\le x\le16\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{4096}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。