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滋賀大学 教育・データサイエンス・数学III選択 数学記述模試 第050回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(10,1),\ \mathbf b=(1,10) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第2問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=10、AC=20、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{10+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{10n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-30x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=10\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{30} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第5問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-10|+|x+10|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 30\) を解きなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=100\\) 上の点 \(P(t,100/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=20,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{101}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{20}{101}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=101t^2-40t+101 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{9801}{101},\quad t=\frac{20}{101}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=100+400-400\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{10\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{50\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{10} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{10+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{10+j/n} \]

は \(g(x)=1/(10+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{10+x}\,dx=[\frac23(10+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(11\sqrt{11}-10\sqrt{10})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{10+x}\,dx=[\log(10+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{11}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-20)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=20で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-4000} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-300\)、接点のy座標は \(-2000\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-300x+1000} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-67500} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-10,10\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-10\\20&-10\le x\le10\\2x&x>10\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=20,\quad -10\le x\le10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 30\)、\(2x\le 30\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-15\le x\le 15} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=100/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-100/t=-100(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{100}=2,\quad(2t,0),(0,200/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(200/t\)。その積が \(400\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{200} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+200/t\ge40\)。等号は \(t=10\) のとき。

\[ \boxed{\min=40,\quad P=(10,10)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。