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滋賀大学 教育・データサイエンス・数学III選択 数学記述模試 第011回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項29、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第2問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を29回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le29\) で曲線 \(y=x(29-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-30\cdot2^x+29\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第5問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+841=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=29,B=29i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=29\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=29(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{29}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(29\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{203}{268435456}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{536870911}{536870912}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{406}{536870911}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{29}x(29-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{24389}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(29-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{29}x^2(29-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{20511149}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le841/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(29\pm\sqrt{841-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=29\pi\sqrt{841-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{707281}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-30u+29=(u-1)(u-29)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_229} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_229} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-196,\quad x=\log_215} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-841)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-29\ \text{または}\ t\ge29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>29} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(841\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{841}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{29}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=29\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{841}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{29}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{29}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。