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滋賀大学 教育・データサイエンス・数学III選択 数学記述模試 第007回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+26)(n+27)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{54}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(26,0)、半径がともに26の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{26+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{26n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-27\cdot2^x+26\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第5問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(24,25,26,27,28\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）

第6問　1の累乗根と積・距離の和（16点）

方程式 \(z^26=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{25}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=0}^{25}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^{25}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+26}-\frac1{n+27}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{27(n+27)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(13\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(13,13\sqrt{3}),\quad Q=(13,-13\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{26\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{169\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{26+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{26+j/n} \]

は \(g(x)=1/(26+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{26+x}\,dx=[\frac23(26+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(81\sqrt{3}-26\sqrt{26})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{26+x}\,dx=[\log(26+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{27}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-27u+26=(u-1)(u-26)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_226} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_226} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-\frac{625}{4},\quad x=\log_2\frac{27}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(26\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=26,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=55,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(26\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{25}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{26}+i\sin\frac{2\pi j}{26},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{52} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ z^26-1=(z-1)\prod_{j=1}^{25}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{25}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{26} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。