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芝浦工業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第083回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-54x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=18\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{54} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=18,B=18i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+18)(n+19)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{38}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-18|+|x+18|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 54\) を解きなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を18回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{18+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{18n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-36)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=36で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-23328} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-972\)、接点のy座標は \(-11664\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-972x+5832} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-708588} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=9(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=18\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=162\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=3(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=6\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+18}-\frac1{n+19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{19(n+19)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-18,18\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-18\\36&-18\le x\le18\\2x&x>18\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=36,\quad -18\le x\le18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 54\)、\(2x\le 54\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-27\le x\le 27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(18\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{153}{262144}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{262143}{262144}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{17}{29127}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{18+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{18+j/n} \]

は \(g(x)=1/(18+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{18+x}\,dx=[\frac23(18+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(19\sqrt{19}-54\sqrt{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{18+x}\,dx=[\log(18+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{19}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。