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芝浦工業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第007回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-26)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 1352\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1352\) を解きなさい。（7点）

第2問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=676\\) 上の点 \(P(t,676/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項26、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第4問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-52x+650\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を26回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　対数の評価と部分積分（16点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le26\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）

（3）

\[ \int_1^{26}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-26)=1352\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=52} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{26<x\le52} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=676/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-676/t=-676(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{676}=2,\quad(2t,0),(0,1352/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1352/t\)。その積が \(2704\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1352} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1352/t\ge104\)。等号は \(t=26\) のとき。

\[ \boxed{\min=104,\quad P=(26,26)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=26\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=26(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{26}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-26)^2-26\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-26,\quad x=26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-26)^2=26\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=26\pm\sqrt{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{26-\sqrt{26}\le x\le 26+\sqrt{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(26\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{325}{67108864}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{67108863}{67108864}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{325}{67108863}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<26\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log26+1}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。