西南学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第088回
この回のテストポイント
- 第1問：部分分数分解と有限和の評価
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：反復試行と条件付き確率
- 第4問：指数方程式・不等式と置換
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 部分分数分解と有限和の評価（25点）
\(a_n=\frac1{(n+13)(n+14)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）
（3）\(S_n\ge\frac1{28}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-26x+156\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第3問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を13回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第4問 指数方程式・不等式と置換（25点）
\(F(x)=4^x-14\cdot2^x+13\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（7点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（7点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-13)^2-13\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-13)^2=13\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(13\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-14u+13=(u-1)(u-13)\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。