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埼玉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第079回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=25\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第2問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^5=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{4}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{4}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{4}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-10x+20\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{5+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{5n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(5,1),\ \mathbf b=(1,5) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(5,0)、半径がともに5の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-25=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-5\sqrt2\le a\le5\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm5\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{100-2a^2},\quad\max L=10\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(5\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{4}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{5}+i\sin\frac{2\pi j}{5},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^5-1=(z-1)\prod_{j=1}^{4}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{4}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{5} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-5)^2-5\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-5,\quad x=5} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-5)^2=5\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=5\pm\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{5-\sqrt{5}\le x\le 5+\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{5+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{5+j/n} \]

は \(g(x)=1/(5+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{5+x}\,dx=[\frac23(5+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(6\sqrt{6}-5\sqrt{5})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{5+x}\,dx=[\log(5+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{6}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=10,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{5}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=26t^2-20t+26 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{288}{13},\quad t=\frac{5}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{5}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{5\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{25}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。