埼玉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第069回
この回のテストポイント
- 第1問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第2問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第3問：二次方程式の解の符号
- 第4問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第5問：内積・角度とベクトルの射影
- 第6問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円と直線の交点数・弦の長さ（17点）
円 \\(x^2+y^2=484\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）
第2問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-22|=2|z+22|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第3問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+484=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第4問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-22x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第5問 内積・角度とベクトルの射影（16点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）
第6問 余弦定理・面積・正弦定理（16点）
三角形ABCでAB=22、AC=44、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（4点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-484=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-22)^2+y^2=4((x+22)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(110/3\)、半径は \(88/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-22w|=2|1+22w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-484)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(484\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-22x}(1-22x)\)。指数因子は正なので \(x=1/22\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{22x+1}{484}e^{-22x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-22a}\) と \(ae^{-22a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。