埼玉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第065回
この回のテストポイント
- 第1問：指数方程式・不等式と置換
- 第2問：楕円の接線と切片・回転体
- 第3問：絶対値の和と場合分け
- 第4問：対数の評価と部分積分
- 第5問：内分点・内積・三角形の面積
- 第6問：反復試行と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 指数方程式・不等式と置換（17点）
\(F(x)=4^x-13\cdot2^x+12\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）
第2問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(24\cos t,12\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第3問 絶対値の和と場合分け（17点）
\(f(x)=|x-12|+|x+12|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）
（3）不等式 \(f(x)\le 36\) を解きなさい。（7点）
第4問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le12\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第5問 内分点・内積・三角形の面積（16点）
A(0,0)、B(24,0)、C(0,24)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）
第6問 反復試行と条件付き確率（16点）
公平な硬貨を12回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-13u+12=(u-1)(u-12)\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(24/\cos t\)、\(12/\sin t\)。面積は \(144/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(144\(1-x^2/576\)\)。\(-24\le x\le24\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-12,12\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 36\)、\(2x\le 36\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<12\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(12\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。